home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter4.3p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  10.7 KB  |  405 lines
  1. à 4.3 Non-Homogeneous Equations; Undetermïed Coefficients
  2.  
  3. äèFïd ê particular solution, given ê fundmental
  4. èèèèèèèset ç solutions, ë ê non-homogeneous equation.
  5.  
  6. â    è Forèy»» - 5y» + 6y = 2x + 3
  7.     The fundamental solutions set is eì╣ å eÄ╣.
  8.     Thus assume a particular solution ç ê formèAx + B
  9.     Substiutuion ïë ê differential equation yields
  10.         0 - 5A + 6(Ax + B) = 2x + 3
  11.     Solvïg yieldsèA = 1/3 å B = 7/9
  12.     The particular solution isèx/3 + 7/9
  13.  
  14. éS    è The problem ç solvïg a lïear, NON-HOMOGENEOUS, second
  15.     order differential equation can be split ïë two parts
  16.  
  17.     1)    Solve ê homogeneous differential equation which will
  18.         produce two ïdependent solutions (ê fundamental set
  19.         ç solutions) say y¬ å y½.èThe general solution 
  20.         ç ê homogeneous differential equation is
  21.             C¬y¬ + C½y½
  22.  
  23.     2)    Fïd any PARTICULAR SOLUTION ë ê NON-HOMGENEOUS
  24.         differential equation, say y╞.
  25.  
  26.     èèThe general solution ë ê NON-HOMOGENEOUS differential
  27.     equation is ê sum ç êse two solutions
  28.  
  29.             C¬y¬ + C½y½ + y╞
  30.  
  31.     èè In this section, ê METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS
  32.     will be used ë fïd PARTICULAR SOLUTIONS ç ê NON-HOMOGEN-
  33.     EOUS differential equation.èThis method assumes ê form ç 
  34.     ê particular solution based on ê form ç g(x), ê non-
  35.     homogeneous term.èIt is not a general method but håles a
  36.     large group ç common non-homogeneous terms.èIf this method
  37.     does not work, ê method ç VARIATION OF PARAMETERS (à
  38.     4.4) can be used.
  39.     èè The assumed particular solution is substituted ïë ê
  40.     non-homegeneous differential equation.èThis should produce
  41.     a system ç as many lïear equations as êre are UNDETERMINED
  42.     COEFFICIENTS.
  43.     èè For several choices ç g(x), a suggested form ç ê
  44.     particular solution are given below.
  45.  
  46.     1.    g(x) is a polynomial ç degree n.èThe assumed solution
  47.     is ê general polynomial ç degree n.èFor example, if 
  48.     è g(x) = x║ - 3èênèy╞ = Axì + Bx + CèSubstiutution ïë
  49.     ê non-homogeneous solution should produce 3 equations for ê
  50.     3 undetermïed coefficients A, B å C.èIf x¡ is a member ç
  51.     ê fundamental solution set ç ê homogeneous differential
  52.     equation, multiply each term ç ê particular solution by
  53.     x¡ prior ë substitution.
  54.  
  55.     2.    g(x) = e¡╣ where m is real.èIf m is NOT a solution ç
  56.     ê characteristic equation ç ê homogeneous differential
  57.     equation, useèy╞ = Ae¡╣.è If m is a solution ç ê charact-
  58.     eristic equation ç ê homogeneous differential equation ç
  59.     MULTIPLICITY n, useèy╞ = Axⁿe¡╣.èFor example, if 
  60.     g(x) = 3eÉ╣ å 5 is a root (not repeated) ç ê characteristic
  61.     equation, useèy╞ = AxeÉ╣.
  62.  
  63.     3.    g(x) = e¡╣sï[nx] or e¡╣cos[nx].èIf m ± ni are NOT 
  64.     roots ç ê characteristic equation ç ê homogeneous
  65.     differential equation, useèy╞ = Ae¡╣sï[nx] + Be¡╣cos[nx]
  66.     If m ± ni are roots ç multiplicity l, use 
  67.     èy╞ = Ax╚e¡╣sï[nx] + Bx╚e¡╣cos[nx]è For example, if 2 ± i
  68.     is NOT a solution ç ê characteristic equation, use
  69.     èy╞ = Aeì╣sï[x] + Beì╣cos[x].
  70.  
  71.         If g(x) = g¬(x) + g½(x)èwhere g¬ å g½ are ç 
  72.     different forms ç ê above types, use ê above techniques
  73.     ë fïd particular soltuions y¬╞ å y½╞ ë ê respective
  74.     non-homogeneous differential equation with g¬(x) å g½(x) as
  75.     êir right hå sides.èThe sumèy¬╞ + y½╞ will be a 
  76.     particular solution ë ê overall problem with g(x) as its
  77.     non-homogeneous term.
  78.  
  79.  1èèy»» + 4y» + 3y = 2xèFundamental set are eú╣ å eúÄ╣
  80.  
  81.  
  82.     A)    2/3 x + 8/9    B)    2/3 x - 8/9
  83.  
  84.     C)    -2/3 x + 8/9    D)    -2/3 x - 8/9
  85.  
  86. ü    èèAs g(x) = 2x is a first degree polynomial, ê assumed
  87.     particular solution isè
  88.         y╞ = Ax + B
  89.     Differentiatïg
  90.         y╞»è= A
  91.         y╞»» = 0
  92.  
  93.     Substiutïg
  94.         0 + 4A + 3(Ax + B) = 2x
  95.     Rearrangïg
  96.         3Ax + 4A + 3B = 2x
  97.     For ê two sides ë be equal, ê coefficients ç each power
  98.     ç x must be ê same, êrefore
  99.         3Aèèè= 2
  100.         4A + 3B = 0
  101.     The solutions are
  102.         A =è2/3
  103.         B = -8/9
  104.     The particular solution is
  105.         y╞ = 2/3 xè- 8/9
  106.     The general solution is
  107.         C¬eú╣ + C½eúÄ╣ + 2/3 xè- 8/9
  108.  
  109. ÇèB
  110.  
  111.  2è y»» - 4y» + 3y = 3xì ;èFundamental set are e╣ å eÄ╣
  112.  
  113.  
  114.     A)    xì + 8x/3 + 26/9    B)    xì + 8x/3 - 26/9
  115.  
  116.     C)    xì - 8x/3 + 26/9    D)    xì - 8x/3 - 26/9
  117.  
  118.  
  119. ü    èèAs g(x) = 3xì is a second degree polynomial, ê assumed
  120.     particular solution isè
  121.         y╞ = Axì + Bx + C
  122.     Differentiatïg
  123.         y╞»è= 2Ax + B
  124.         y╞»» = 2A
  125.  
  126.     Substiutïg
  127.         2A - 4(2Ax + B) + 3(Axì + Bx + C) = 3xì
  128.     Rearrangïg
  129.         3Axì + (-8A + 3B)x + (2A -4B + 3C) = 3xì
  130.     For ê two sides ë be equal, ê coefficients ç each power
  131.     ç x must be ê same, êrefore
  132.          3Aèèè    = 3
  133.         -8A + 3B     = 0
  134.          2A - 4B + 3C    = 0
  135.     The solutions are
  136.         A =è1
  137.         B = 8/3
  138.         C = 26/9
  139.     The particular solution is
  140.         y╞ = xì + 8/3 xè+ 26/9
  141.     The general solution is
  142.         C¬e╣ + C½eÄ╣ + xì + 8/3 xè+ 26/9
  143.  
  144. ÇèA
  145.  
  146.  3    y»» - 4y» + 3y = 2eì╣; Fundamental set are e╣ å eÄ╣
  147.  
  148.  
  149.     A)    -1/2 eì╣        B)    1/2eúì╣
  150.  
  151.     C)    -2eì╣            D)    2eúì╣
  152.  
  153.  
  154. ü    èèAs g(x) = 2eì╣ is a real exponential å is not ï ê
  155.     fundamental set, ê assumed particular solution isè
  156.         y╞ = Aeì╣
  157.     Differentiatïg
  158.         y╞»è= 2Aeì╣
  159.         y╞»» = 4Aeì╣
  160.  
  161.     Substiutïg
  162.         4Aeì╣ - 4(2Aeì╣) + 3Aeì╣ = 2eì╣
  163.     Rearrangïg
  164.         Aeì╣(4 - 8 + 3) = 2eì╣
  165.             è-Aeì╣ = 2eì╣
  166.     Dividïg both sides by eì╣ yields
  167.         -A = 2è orèA = -2
  168.     The particular solution is
  169.         y╞ = -2eì╣
  170.     The general solution is
  171.         C¬e╣ + C½eÄ╣ - 2eì╣
  172.  
  173. ÇèC
  174.  
  175. è4è y»» + 4y» + 3y = -3eúÅ╣ Fundamental set are eú╣ å eúÄ╣
  176.  
  177.  
  178.     A)    4eúÅ╣            B)    eúÅ╣
  179.  
  180.     C)    -4eúÅ╣            D)    -eúÅ╣
  181.  
  182. ü    èèAs g(x) = -3eúÅ╣ is a real exponential å is not ï ê
  183.     fundamental set, ê assumed particular solution isè
  184.         y╞ = AeúÅ╣
  185.     Differentiatïg
  186.         y╞»è= -4AeúÅ╣
  187.         y╞»» = 16AeúÅ╣
  188.  
  189.     Substiutïg
  190.         16AeúÅ╣ + 4(-4AeúÅ╣) + 3AeúÅ╣ = -3eúÅ╣
  191.     Rearrangïg
  192.         Aeì╣(16 - 16 + 3) = -3eúÅ╣
  193.             è3AeúÅ╣ = -3eúÅ╣
  194.     Dividïg both sides by eúÅ╣ yields
  195.         3A = -3è orèA = -1
  196.     The particular solution is
  197.         y╞ = -eúÅ╣
  198.     The general solution is
  199.         C¬eú╣ + C½eúÄ╣ - eúÅ╣ 
  200. ÇèD
  201.  
  202.  5èy»» - 4y» + 3y = 5eÄ╣ ; Fundamental set are e╣ å eÄ╣
  203.  
  204.  
  205.     A)    5/2 xeÄ╣        B)    5/2 eÄ╣
  206.  
  207.     C)    -5/2 xeÄ╣        D)    -5/2 eÄ╣
  208.  
  209. ü    èèAs g(x) = 5eÄ╣ is a real exponential å is ï ê
  210.     fundamental set, ê assumed particular solution isè
  211.         y╞ = AxeÄ╣
  212.     Differentiatïg
  213.         y╞»è= 3AxeÄ╣ + AeÄ╣
  214.         y╞»» = 9AxeÄ╣ + 6AeÄ╣
  215.  
  216.     Substiutïg
  217.         9AeÄ╣ + 6AeÄ╣ - 4(3AeÄ╣ + AeÄ╣) + 3AeÄ╣ = 5eÄ╣
  218.     Rearrangïg
  219.         AeÄ╣(9 + 6 - 12 - 4 + 3) = 5eÄ╣
  220.             è2AeúÅ╣ = 5eÄ╣
  221.     Dividïg both sides by eÄ╣ yields
  222.         2A = 5è orèA = 5/2
  223.     The particular solution is
  224.         y╞ = 5/2 xeÄ╣
  225.     The general solution is
  226.         C¬e╣ + C½eÄ╣ + 5/2 xeÄ╣
  227.  
  228. ÇèA
  229.  
  230.  6è y»» - 6y» + 9 = 2eúÄ╣ ; Fundamental set are eÄ╣ å xeÄ╣
  231.  
  232.  
  233.     A)    1/18 eúÄ╣        B)    xìeúÄ╣
  234.  
  235.     C)    -1/18 eúÄ╣        D)    -xìeúÄ╣
  236.  
  237. ü    èèAs g(x) = 2eúÄ╣ is a real exponential å is not ï ê
  238.     fundamental set, ê assumed particular solution isè
  239.         y╞ = AeúÄ╣
  240.     Differentiatïg
  241.         y╞»è= -3AeúÄ╣
  242.         y╞»» = 9AeúÄ╣
  243.  
  244.     Substiutïg
  245.         9AeúÄ╣ - 6(-3AeúÄ╣) + 9AeúÄ╣ = 2eúÄ╣
  246.     Rearrangïg
  247.         AeúÄ╣(9 + 18 + 9) = 2eúÄ╣
  248.              36AeúÄ╣ = 2eúÄ╣
  249.     Dividïg both sides by eúÄ╣ yields
  250.         18A = 2è orèA = 1/18
  251.     The particular solution is
  252.         y╞ = 1/18 eúÄ╣
  253.     The general solution is
  254.         C¬e3╣ + C½xeÄ╣ + 1/18 eúÄ╣
  255.  
  256. ÇèA
  257.  
  258.  7è y»» - 6y» + 9 = 2eÄ╣ ; Fundamental set are eÄ╣ å xeÄ╣
  259.  
  260.     A)    1/18 eÄ╣        B)    xìeÄ╣
  261.  
  262.     C)    -1/18 eÄ╣        D)    -xìeÄ╣
  263.  
  264. ü    èèAs g(x) = 5eÄ╣ is a real exponential å is repeated ï 
  265.     ê fundamental set, ê assumed particular solution isè
  266.         y╞ = AxìeÄ╣
  267.     Differentiatïg
  268.         y╞»è= 3AxìeÄ╣ + 2AxeÄ╣
  269.         y╞»» = 9AxìeÄ╣ + 12AxeÄ╣ + 2AeÄ╣
  270.  
  271.     Substiutïg
  272.         9AxìeÄ╣ + 12AxeÄ╣ +2AeÄ╣- 6(3AxìeÄ╣ + 2AxeÄ╣) 
  273.         è + 9AxìeÄ╣ = 2eÄ╣
  274.     Rearrangïg
  275.         AeÄ╣[ xì(9 - 18 + 9) + x(12 - 12) + 2) = 2eÄ╣
  276.             è2AeÄ╣ = 2eÄ╣
  277.     Dividïg both sides by eÄ╣ yields
  278.         2A = 2è orèA = 1
  279.     The particular solution is
  280.         y╞ = xìeÄ╣
  281.     The general solution is
  282.         C¬e╣ + C½xeÄ╣ + xìeÄ╣
  283.  
  284. ÇèB
  285.  
  286.  8èy»» - 4y» + 3y = sï[x]èFundamental set are e╣ å eÄ╣
  287.  
  288.     A)èè1/5 cos[x] + 1/10 sï[x]
  289.     B)èè1/5 cos[x] - 1/10 sï[x]
  290.     C)èè-1/5 cos[x] + 1/10 sï[x]
  291.     D)èè-1/5 cos[x] - 1/10 sï[x]
  292.  
  293. ü    èèAs g(x) = sï[x] results from a complex conjugate pair
  294.     as ê solution ç ê characteristic equation but it is not
  295.     ï ê fundamental set, ê assumed particular solution isè
  296.         y╞ = Acos[x] + Bsï[x]
  297.     Differentiatïg
  298.         y╞»è= -Asï[x] + Bcos[x]
  299.         y╞»» = -Acos[x] - Bsï[x]
  300.  
  301.     Substiutïg
  302.         -Acos[x] - Bsï[x] - 4{-Asï[x] + Bcos[x]}
  303.             + 3{Acos[x] + Bsï[x]} = sï[x]
  304.     Rearrangïg
  305.         cos[x]{-A - 4B + 3A} + sï[x]{-B + 4A + 3B} = sï[x]
  306.             è2AeÄ╣ = 2eÄ╣
  307.     For this ë be true for all x, ê coefficients ç both cos[x]
  308.     å sï[x] must match yieldïg ê two equations
  309.         2A - 4B = 0
  310.         4A + 2B = 1
  311.     Solvïg this system ç lïear equations yields
  312.         A = 1/5
  313.         B = 1/10
  314.     The particular solution is
  315.         y╞ = 1/5 cos[x] + 1/10 sï[x]
  316.     The general solution is
  317.         C¬e╣ + C½xeÄ╣ + 1/5 cos[x] + 1/10 sï[x]
  318.  
  319. ÇèA
  320.  
  321.  9èy»» + 4y» + 3y = 2e╣cos[2x]èFundamental set are eú╣, eúÄ╣
  322.  
  323.     A)     3/20 e╣cos[2x] + 1/20 e╣sï[2x]
  324.     B)     1/20 e╣cos[2x] + 3/20 e╣sï[2x]
  325.     C)     3/20 e╣cos[2x] - 1/20 e╣sï[2x]
  326.     D)    1/20 e╣cos[2x] - 3/20 e╣sï[2x]
  327.  
  328.  
  329. ü    èèAs g(x) = e╣cos[2x] results from a complex conjugate pair
  330.     as ê solution ç ê characteristic equation but it is not
  331.     ï ê fundamental set, ê assumed particular solution isè
  332.         y╞ = Ae╣cos[2x] + Be╣sï[2x]
  333.     Differentiatïg
  334.         y╞»è= Ae╣cos[2x] - 2Ae╣sï[2x] 
  335.             + Be╣sï[2x] + 2Be╣cos[2x]
  336.         y╞»» = Ae╣cos[2x] - 2Ae╣sï[2x] - 2Ae╣sï[2x]
  337.             - 4Ae╣cos[2x] + Be╣sï[2x] + 2Be╣cos[2x]
  338.             + 2Be╣cos[2x] - 4Be╣sï[2x]
  339.     Substiutïg
  340.         -3Ae╣cos[2x] - 4Ae╣sï[2x] - 3Be╣sï[2x] 
  341.         + 4Be╣cos[2x] + 4{Ae╣cos[2x] - 2Ae╣sï[2x] 
  342.         + Be╣sï[2x] + 2Be╣cos[2x]} 
  343.         + 3{Ae╣cos[2x] + Be╣sï[2x]}è=è2e╣cos[2x]
  344.     Rearrangïg
  345.         e╣cos[2x]{-3A + 4B + 4A + 8B + 3A} 
  346.         + e╣sï[2x]{-4A - 3B - 8A + 4B + 3B} = 2e╣cos[2x]
  347.  
  348.         {4A + 12B}e╣cos[2x] + {-12A + 4b}e╣sï[2x] = 2e╣cos[2x]
  349.     For this ë be true for all x, ê coefficients ç both e╣cos[x]
  350.     å e╣sï[x] must match yieldïg ê two equations
  351.         è4A + 12B = 2
  352.         -12A +è4B = 0
  353.     Solvïg this system ç lïear equations yields
  354.         A = 1/20
  355.         B = 3/20
  356.     The particular solution is
  357.         y╞ = 1/20 e╣cos[2x] + 3/20 e╣sï[2x]
  358.     The general solution is
  359.         C¬e╣ + C½xeÄ╣ + 1/20 e╣cos[2x] + 3/20 e╣sï[2x]
  360.  
  361. ÇèB
  362.  
  363.  10è y»» + 4y = 3cos[2x]èFundamental set are cos[2x],sï[2x]
  364.  
  365.  
  366.     A)    3/4 x cos[2x]    èB)    -3/4 x cos[2x]
  367.  
  368.     C)    3/4 x sï[2x]    èD)    -3/4 x sï[2x]
  369.  
  370.  
  371. ü    èèAs g(x) = 3cos[2x] results from a complex conjugate pair
  372.     as ê solution ç ê characteristic equation å it is ï
  373.     ê fundamental set, ê assumed particular solution isè
  374.         y╞ = Axcos[2x] + Bxsï[2x]
  375.     Differentiatïg
  376.         y╞»è= Acos[2x] - 2Axsï[2x] + Bsï[2x] + 2Bxcos[2x]
  377.         y╞»» = -2Asï[2x] - 2Asï[2x] - 4Axcos[2x]
  378.             + 2Bcos[2x] + 2Bcos[2x] - 4Bxsï[2x]
  379.     Substiutïg
  380.         -4Asï[2x] - 4Axcos[2x] + 4Bcos[2x] - 4Bxsï[2x]        
  381.         + 4{Axcos[2x] + Bxsï[2x]} = 3cos[2x]
  382.     Rearrangïg
  383.         x cos[2x]{-4A + 4A} + cos[2x]{4B} + sï[2x]{-4a}
  384.         èx sï[2x]{-4B + 4B} = 3 cos[2x]
  385.     or    4Bcos[2x] - 4Asï[2x] = 3 cos[2x]
  386.     For this ë be true for all x, ê coefficients ç both e╣cos[x]
  387.     å e╣sï[x] must match yieldïg ê two equations
  388.         è 4B = 3
  389.         è-4A = 0
  390.     Solvïg this system ç lïear equations yields
  391.         A = 0
  392.         B = 3/4
  393.     The particular solution is
  394.         y╞ = 3/4 x sï[2x] 
  395.     The general solution is
  396.         C¬e╣ + C½xeÄ╣ + 3/4 x sï[2x]
  397.  
  398. ÇèC
  399.  
  400.  
  401.  
  402.  
  403.  
  404.  
  405.